|
Задачи по астрономии
| |
| anat | Дата: Среда, 16.11.2011, 12:43 | Сообщение # 1 |
 Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 59
Статус: Offline
| Решение задач по астрономии различного уровня: от задач на уроках, до республиканских олимпиад.
|
| |
| |
| anat | Дата: Среда, 16.11.2011, 12:58 | Сообщение # 2 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 59
Статус: Offline
| Задача от Аделины.
Условие:
Расстояние между звёздами столь велико, что их принято измерять в астрономических единицах или парсеках. Одна астрономическая единица численно равна среднему расстоянию от Земли до солнца R3=150 млн. км. Один парсек -это расстояние , с которого радиус земной орбиты виден под углом в одну угловую секунду. В одном градусе содержится 60 угловых минут, а в одной угловой минуте содержится 60 угловых секунд. Скорость света=300 тысЯч км/с. Сколько астрономических единиц содержится в одном парсеке? За сколько лет свет преодолеет расстояние в 1 парсек? Отношение длины окружности к её диаметру равно 3,14
Решение.
Найдем величину одного парсека:
1 пк = 1 а.е./sin a = 206265*1 а.е./1" = 206265 а.е.=3,08*10 в 16 степени м.
Здесь мы учли, что синус небольшого угла, выраженный в секундах, равен синусу одной секунды, умноженному на количество секунд. А sin 1" = 1/206265.
Для того, чтобы определить за сколько лет свет преодолеет расстояние в 1 парсек, надо разделить значение пк в километрах, на световой год:
1 пк/1 св г = 3,08*10 в 16 степени/((3*10 в 8 ст)*365*24*3600)=3,26 г.
|
| |
| |
| anat | Дата: Пятница, 18.11.2011, 17:51 | Сообщение # 3 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 59
Статус: Offline
| II (районный) этап респубиканской олимпиады по астрономии 2010 г. Минская обл.
1. Звезда Ахернар (а Эридана) наблюдалась в верхней и нижней кульминациях на высотах h1 = 70°35' и h2 = 5°03' над горизонтом соответственно. При этом обе кульминации происходили к югу от зенита. Пренебрегая рефракцией, определите географическую широту точки наблюдения.
Авторское решение:
Поскольку обе кульминации происходят к югу от зенита – наблюдатель находится в южном полушарии. Широту найдем из системы уравнений:
h1=|φ|+900+δ,
h2=|φ|–900–δ,
откуда
|φ|= (h1+ h2)/2=37049’→ φ=–37049’
Замечания:
В системе перепутаны знаки. Надо:
h1=|φ|+900–δ,
h2=|φ|–900+δ
Несмотря на ошибку, дальше все правильно.
|
| |
| |
| anat | Дата: Пятница, 18.11.2011, 17:52 | Сообщение # 4 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 59
Статус: Offline
| II (районный) этап респубиканской олимпиады по астрономии 2010 г. Минская обл.
2. На неизвестной землеподобной планете главная звезда системы может наблюдаться в зените на широтах от -53.9° до 53.9°. Определите наклон местной эклиптики к экватору планеты.
Поскольку местное солнце может наблюдаться в зените на широтах ±53.9°, наклон эклиптики к экватору равен 53.9°.
|
| |
| |
| anat | Дата: Пятница, 18.11.2011, 17:54 | Сообщение # 5 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 59
Статус: Offline
| II (районный) этап респубиканской олимпиады по астрономии 2010 г. Минская обл.
3. Вы находитесь на мысе Доброй Надежды (34°21' ю. ш.). Определите склонение геостационарного спутника, находящегося над вашим меридианом. Землю считайте шарообразной.
Авторское решение:
Найдем расстояние от центра Земли данного геостационарного спутника:
r=[GM/(4π20[/sup])∙(23.93333∙3600 c)2]⅓=4.2148∙104 км
Найдем склонение спутника, сделав подходящий чертеж:
δ=arcsinREsin φ/(r2+RE2–2rREcos φ)0.5]=5.570
В выражениях выше φ — модуль широты.
Замечания:
По определению: Геостационарный спутник - спутник, который располагается на высоте 35786 км (от центра Земли 42164 км) над экватором и обеспечивает непрерывность передачи данных. Расстояние до него определяется из формулы:
mv2/r=GmM/r2
С учетом того, что скорость:
v=2πr/T
Получим:
r=[GMT/(4π2)]⅓
С учетом T = 23h56m = 23,93333h = 23,93333∙3600 с, должно выйти 4,2164∙104 км. У нас получилось чуть меньше, но это не важно.
Далее делаем «подходящий» рисунок:
Спутник находится в точке C. Мы – в A. У нас два прямоугольных треугольника с общим катетом AB. Получим
AC sin δ = R sin φ
По теореме косинусов:
AC = (r2+R2–2rR cos φ)0.5
Тогда
(r2+R2–2rR cos φ)0.5 sin δ = R sin φ
И далее как в решении.
|
| |
| |
| anat | Дата: Пятница, 18.11.2011, 17:55 | Сообщение # 6 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 59
Статус: Offline
| II (районный) этап респубиканской олимпиады по астрономии 2010 г. Минская обл.
4. Годичный параллакс тройной звездной системы а Центавра равен 0.7421". Определите расстояние до системы в пк.
Расстояние до системы
r=1/0.7421” пк = 1.348 пк
|
| |
| |
| anat | Дата: Пятница, 18.11.2011, 17:58 | Сообщение # 7 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 59
Статус: Offline
| II (районный) этап респубиканской олимпиады по астрономии 2010 г. Минская обл.
5. Звезда α Центавра В обращается с периодом Р = 79.24 лет и большой полуосью a = 17.59" относительно звезды α Центавра А. Пренебрегая массой α Центавра С и используя значение параллакса системы из условия предыдущей задачи, вычислите сумму масс звезд А и В в массах Солнца.
Авторское решение:
Согласно третьему закону Кеплера, если период выражен в годах, большая полуось в а. е., масса в массах Солнца, можем записать:
MA+MB=(a/p)3/P2=2.12 M☼
Замечания:
Большая полуось в условии дана в секундах дуги, но обозначена латинской буквой a, а не α (альфа). Вообще, условие очень запутано и некрасиво – альфа Центавра, альфа – угол, а – большая полуось. Период обозначается буквой P. В решении путаница продолжается: годичный параллакс (π), обозначается как горизонтальный (p), третий обобщенный закон Кеплера называется просто третьим законом Кеплера. Попробуем немного прояснить ситуацию.
Третий обобщенный закон Кеплера:
Если для Земли все значения брать равными единице, получим:
T2(MA+MB)=a3
Выразим сумму масс:
MA+MB=a3/T2
У нас T = P.
a найдем из рисунка:
a = α∙r = α/π
Тогда:
MA+MB=(α/π)3/T2
|
| |
| |
| anat | Дата: Пятница, 18.11.2011, 18:04 | Сообщение # 8 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 59
Статус: Offline
| II (районный) этап респубиканской олимпиады по астрономии 2010 г. Минская обл.
6. Синодический период обращения Юпитера составляет 1.0924 лет. Найдите большую полуось его орбиты в астрономических единицах.
Из уравнения синодического движения найдем сидерический период вращения Юпитера вокруг Солнца:
Tj = 1.0924/(1.0924 – 1) лет = 11.823 лет
Согласно третьему закону Кеплера, большая полуось орбиты планеты:
aj = Tj⅔ = 5.1893 а.е.
|
| |
| |
| anat | Дата: Пятница, 18.11.2011, 18:05 | Сообщение # 9 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 59
Статус: Offline
| II (районный) этап респубиканской олимпиады по астрономии 2010 г. Минская обл.
7. Красный сверхгигант Бетельгейзе имеет видимую звездную величину т = 0.92 и годичный параллакс р = 0.0050". Вычислите абсолютную звездную величину звезды.
Абсолютная звездная величина Бетельгейзе
M = m + 5 + 5lg p = 0.92 + 5 + 5 lg(0.0050") = -5.59.
|
| |
| |
| anat | Дата: Пятница, 18.11.2011, 20:34 | Сообщение # 10 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 59
Статус: Offline
| II (районный) этап респубиканской олимпиады по астрономии 2010 г. Минская обл.
8. Вычислите экваториальные координаты северного полюса эклиптики.
Авторское решение:
Сделав соответствующий чертеж, находим: а = 18h, δ = 66°34'.
Замечания:
Полюс эклиптики это круто. Оказывается, есть такая эклиптическая система небесных координат. Присутствует в ней и понятие полюса эклиптики. Он находится на оси, перпендикулярной плоскости эклиптики: возле северного полюса – северный полюс эклиптики, возле южного полюса – южный полюс эклиптики. Сделаем «соответствующий» чертеж:
На рисунке АВ – плоскость эклиптики (вид сбоку), ПП’ – ось эклиптики, П – северный полюс эклиптики. β – угол наклона эклиптики к плоскости небесного экватора, δПЭ – склонение полюса эклиптики. Из рисунка: δПЭ = 90° – β = 66°34'.
Прямое восхождение α найти гораздо легче. Нарисуем вид сверху. α отсчитывается от точки весеннего равноденствия в направлении указанной стрелкой. В градусной мере будет 270°, в часах 18h.
|
| |
| |
| anat | Дата: Пятница, 18.11.2011, 21:42 | Сообщение # 11 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 59
Статус: Offline
| Довольно интересная задача:
Радиоастроном 1 апреля и 1 октября получал от своего радиоисточника, находящегося в космосе, сигнал, который приходил на 8.50 минут позже, чем 1 июля. Определить в каком созвездии находится этот радиоисточник.
Решение:
Для начала, чертеж:
Из чертежа можно сделать вывод, что сигнал идет из точки, в которой будет Солнце 1 января, т.е. в созвездии Стрельца.
Но вот время: 8 минут 30 секунд. Чуток больше, чем надо свету для прохождения расстояния от Солнца до Земли. Впрочем, летом ведь Солнце немного дальше от Земли.
|
| |
| |
| anat | Дата: Суббота, 19.11.2011, 18:32 | Сообщение # 12 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 59
Статус: Offline
| II (районный) этап респубиканской олимпиады по астрономии 2009 г. Минская обл.
1. Телескоп имеет диаметр объектива 20 см. Определите его разрешающую способность. Примечание: максимум чувствительности человеческого глаза при наблюдении в данный телескоп лежит на длине волны 530 нм.
Авторское решение:
Воспользуемся формулой для дифракционного предела разрешающей способности:
ψ = 1.22∙λ/D = 0,0000032 радиан = 0.67”.
Замечания:
Однако в учебнике астрономии таких формул не приводится. Зато есть другая:
ψ = 140”/D = 0,7”.
В данной формуле учитывается, что максимум чувствительности человеческого глаза лежит на длине волны 530 нм. D в обоих формулах – диаметр объектива в мм.
|
| |
| |
| anat | Дата: Суббота, 19.11.2011, 18:35 | Сообщение # 13 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 59
Статус: Offline
| II (районный) этап респубиканской олимпиады по астрономии 2009 г. Минская обл.
2. Рассчитайте разность предельных звездных величин, доступных телескопам с диаметрами объективов 20 см и 5 см.
Авторское решение:
Чем больше диаметр объектива телескопа, тем более слабые звезды (с большими звездными величинами) будут ему доступны. При этом для двух телескопов отношение потоков от двух предельных звезд будут равны отношению квадратов диаметров:
F1/F2 = D22/D12
Применяя формулу Погсона, получим:
2,5∙lg(F1/F2) = m2 – m1,
откуда
∆m = m2 – m1 = 5∙lg(D2/D1) = 5∙lg(20/5) = 5∙lg4 = 3,0
Замечания:
В учебнике есть замечательная формула:
m = 2,0 + 5∙lgD
Откуда, как и по авторскому решению, не сложно получить:
∆m = m2 – m1 = 5∙lg(D2/D1) = 5∙lg(20/5) = 5∙lg4
|
| |
| |
| anat | Дата: Суббота, 19.11.2011, 18:36 | Сообщение # 14 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 59
Статус: Offline
| II (районный) этап респубиканской олимпиады по астрономии 2009 г. Минская обл.
3. Заключительный этап чемпионата мира 2009 года Формула-1 состоялся в Абу-Даби 1 ноября в 17:00 (по времени данного населенного пункта, расположенного в 4-ом часовом поясе). Чуму были равны показания ваших часов в этот момент?
Примечание: в Объединенных Арабских Эмиратах нет перехода на летнее время; мы находимся во 2-м часовом поясе.
Решение:
В день проведения гран-при, в Беларуси действует зимнее, т.е. поясное, время, следовательно, на ваших часах: 17:00 – 2 = 15:00.
|
| |
| |
| anat | Дата: Суббота, 19.11.2011, 18:39 | Сообщение # 15 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 59
Статус: Offline
| II (районный) этап респубиканской олимпиады по астрономии 2009 г. Минская обл.
4. Звезда Вольф 359 имеет прямое восхождение α = 10h56m и склонение δ = 7о01’. На каких широтах она является незаходящей? Рефракцией пренебречь.
Авторское решение:
Звезда является незаходящей, если ее высота в нижней кульминации больше нуля, т.е.
δ > 90o + φ,
или
φ > 90o - δ
откуда
φ > 90o - 7o01’ = 82o59’
Замечения:
Первая формула получена из условия для незаходящей звезды и формулы для высоты светила в нижней кульминации:
hн > 0; hн = δ - 90o + φ
|
| |
| |
|
