Как правильно обрабатывать результаты косвенных измерений?
Поразмышляем над приложением 2 «Обработка результатов прямых и косвенных измерений» (стр.171-176), учебника физики 7 класса (2009 г) авторов Л.А.Исаченковой и Ю.Д.Лещинского.
В данной статье объясняется, как правильно производить косвенные измерения, сколько цифр надо брать после действий над числами. В конце приложения (стр.176) следуют выводы, из которых приведу последний:
4. Если значение величины находится не прямым измерением, а косвенным (по формуле), то точность окончательного результата не может быть выше точности в определении величины, измеренной наиболее грубо.
Данный вывод, правильный по сути, но не полный, приводит к неправильным следствиям, которые реализуются в учебниках физики 7-10 классов. А следствия эти такие:
Следствие 1 (прямое). Если мы перемножаем числа, то в окончательном результате (стр.175) надо брать столько цифр, сколько было в числе, измеренном наиболее грубо.
Данное утверждение является следствием недосказанности в приложении 2. Дело в том, что оно справедливо только при умножении (делении) двух чисел. Но уже при умножении трех чисел, оно нарушается. Пример. Перемножим два числа 2,11 и 4,23. Получим 8,9253, или, после округления по предложенному правилу: 8,93. А теперь умножим полученное значение на 9,36. Результат: 83,5848 или 83,6. Если же перемножить сразу три данных числа, то получим 83,540808 или 83,5. Как видим, ошибка уже есть. А если продолжить расчеты дальше, ошибка будет нарастать как снежный ком. В лабораторных работах, у нас множество промежуточных результатов, которые потом используются при дальнейших расчетах. Так как надо в данном случае оценивать результат косвенных измерений?
К тому же, в репетиционном и централизованном тестировании, когда все ответы могут различаться только последней цифрой, это приводит к неверному решению.
Следствие 2 (косвенное). Если мы перемножаем два числа, то можно число с наибольшей точностью перед умножением округлять до такого же числа знаков, как число с наименьшей точностью.
Если применять данное утверждение при расчете энергии связи, то наш результат, практически всегда, будет ноль.
Следствие 3 (интуитивное). Данное правило действует не только при умножении (делении), но и при сложении (вычитании).
В приложении 2 нет ни строчки о том, что это не так. А, как известно, что не запрещено, то разрешено. Конечно, никто не складывает один километр и один миллиметр, несмотря на то, что у них одинаковое число точных цифр. В таких вычислениях не важно, сколько правильных цифр в числах, а надо руководствоваться одинаковым порядком слагаемых (разрядом последней цифры). Но, несмотря на абсурдность, данное следствие применяется в учебниках физики, особенно в 10 классе.
Например, в упр.12 №2 ("Физика-10" авторов И.И.Жолнеревич, И.Н.Медведь, 2007) ускорение свободного падения берется равным 10 м/с2, а ускорение тела 3,0 м/с2. А ведь данные величины не перемножаются, а складываются! В упр.9 №2 (там же) радиус Земли округляют до значения 6400 км (более точное значение 6370 км), а высоту тела над Землей дают равной 990 км. Зачем? Ведь и здесь значения надо прибавлять друг к другу. В таком случае порядок слагаемых должен быть одинаковым. Или уточните значение радиуса, или округлите значение высоты. И таких примеров можно привести великое множество.
Итоги размышлизмов.
1. Пока не будут исправлены данные баги, я рекомендую ученикам стараться выводить конечную формулу и расчеты производить только один раз. Считать на калькуляторе разрешается, поэтому в округлении необходимости нет.
2. Если удобнее производить промежуточные вычисления (на тестировании это важных момент), то округлять их результат не следует. Однако если подходить к вопросу принципиально, цифр в ответе должно быть больше на столько, сколько вы планируете сделать промежуточных вычислений.
3. При сложении округлять надо с учетом порядка слагаемых.
PS. Я не автор национальных учебников, поэтому не претендую на абсолютную точность информации. Мои замечания носят чисто рекомендательный характер.
А зачем округлять после выполнения промежуточных действий? А если все-таки округляем промежуточный результат, то все равно следует оставить 1-2 цифры "про запас".
Даже с учетом того, что получаются различные значения, на каком основании Вы говорите об ошибке? Ведь речь идет не о точном, а о приближенном ответе! И 83,5, и 83,6 - приближенные числа, которые отличаются от точного значения не более чем на 0,1 (ведь когда в ответе записывается приближенное число, фактически, указывается диапазон, в котором находится точное значение!). Если точное (но неизвестное) число попадает и в диапазон [83,4;83,6], и в диапазон [83,5;83,7], то ни один из этих ответов нельзя считать ошибочным.
Другое дело, если задание попалось на ЦТ. Здесь остается верить в благоразумие составителей тестов, которые предусмотрели два (три, четыре, ...) варианта ответов или так подобрали исходные значения, что при округлении неоднозначности не возникает.
А зачем округлять числа перед(!) выполнением действий (Это я к "следствию 2"). Зачем ухудшать и без того приближенный результат? И как это при умножении двух ненулевых величин "практически всегда" получается ноль?
А "следствие 3"? Почему при сложении ПОРЯДОК слагаемых должен быть одинаков? Как раз-таки вполне нормальное условие, в котором одна величина задана с одной точностью, а другая величина - с другой. Что же в этом плохого? Ну и пусть ученики САМИ (или с помощью УЧИТЕЛЯ) подумают, как следует округлять результат сложения: до десятков (7390 км) или до сотен (7400 км). Или пусть промежуточный результат вообще останется без округления.
Большое спасибо SergeyKa за интересный комментарий. «Если все-таки округляем промежуточный результат, то все равно следует оставить 1-2 цифры»… Да нужно, но об этом в учебнике не говориться, поэтому и затрагивается данный вопрос. А материал появился именно из-за задач на ЦТ и РТ. И хотелось бы в учебнике более точных рекомендаций на этот счет или вообще убрать всякие рекомендации, дабы не путать более любознательных учеников. «…зачем округлять числа перед(!) выполнением действий?». А просто так. Где сказано, что этого делать нельзя? Ведь из-за недосказанности, можно придумать и такое. Что касается "следствия 3", дело не в том, с какой точностью даны величины. Например, если сложить цифры 6370 и 960 получим 7330. Если сложить 6400 и 960 получим 7360. Так как эти результаты надо округлить, получим в первом случае 6300, во втором 6400. Спасибо авторам задачи, что дали нам не 960, а 990 – разночтения результатов не будет. Но зачем вся эта путаница? Повысит ли она знания наших учеников и качество образования? Все должно быть четко и понятно, и тогда не будет по физике 18 баллов (в среднем) по ЦТ.
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи. [ Регистрация | Вход ]
