Бесспорно, самая сложная задача ЦТ 2012 года - В10. Приведем ее примерное условие:

В10. Проволочное кольцо радиуса r = 4,0 cм и массой m = 98,6 мг, изготовленное из проводника сопротивлением R = 0,40 Ом, находится в неоднородном магнитном поле, проекция индукции которого на ось Ох имеет вид B_x= kx, где k = 4,0 Тл/м, х - координата. В направлении оси Ох кольцу ударом сообщили скорость, модуль которой v₀ = 4,0 м/с. Если плоскость кольца во время движения была перпендикулярна оси Ох, то до остановки кольцо прошло расстояние s, равное .... см.

Решение:

Способ 1.

Для начала подойдем к задаче формально.

Кольцу сообщили скорость, дав ему тем самым кинетическую энергию. При этом в кольце возникнет индукционный ток, так как оно будет двигаться в переменном магнитном поле. Кольцо превратится в магнит, поле которого будет направлено противоположно внешнему. В такой ситуации кольцо будет тормозить, пока не остановится. Интересно, что сила Ампера, действующая на элементы кольца, в сумме будет равна нулю, пытаясь при этом кольцо сжать.

Куда же будет расходоваться энергия кольца? Скорее всего, на его нагревание. Таким образом:

Однако, в приведенном выше решении предположений больше, чем физики, поэтому подойдем к данной задаче с чисто физической точки зрения.

Способ 2.

При движении кольца во внешнем переменном магнитном поле, в нем возникнет индукционный ток, который создаст магнитное поле индукцией B_к, компенсирующее изменение внешнего. Направление этого тока несложно найти при помощи правила «правого винта» («правой руки») (рис.1).

Таким образом, на каждый элемент кольца будет действовать сила Ампера, направленная к центру, т.е. сжимающая его. Казалось бы, исходя из вышесказанного, кольцо будет равномерно двигаться вдоль оси X. Однако это не так. В своих рассуждениях мы не учли, что раз магнитная индукция увеличивается, то изменяется магнитный поток.

Рассмотрим это изменение более подробно. При движении кольцо описывает цилиндр (рис.2):

Магнитная индукция пропорциональна координате, поэтому, когда кольцо находится в левом положении, в него входит меньший магнитный поток, чем когда оно справа. Но согласно теореме о магнитном потоке, магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю: Ф = 0.

Или |Ф₂| = |Ф₁| (Ф₂ > 0, т.к. поток выходит, Ф₁ < 0 – поток входит).

Из вышесказанного следует вывод, что магнитный поток будет входить в цилиндр через боковую поверхность (рис.3):

Боковой магнитный поток будет отрицательным, так как входит в контур и равен:

Таким образом, вертикальная составляющая магнитной индукции постоянна. Знак минут означает, что вектор магнитной индукции  В_бок направлен внутрь цилиндра. При помощи правила левой руки можно убедиться, что сила Ампера в этом случае будет направлена против движения кольца.

Найдем ее с учетом того, что ее направление противоположно скорости кольца (α = 180⁰):

Таким образом, тормозящая сила пропорциональна скорости кольца. Время движения тела в этом случае бесконечно, а вот путь можно найти как сумму бесконечно убывающей прогрессии. Для экономии места и времени возьмем готовую формулу из книги А.И.Слободянюка «Физика для избранных: Магнитостатика. Электродинамика. Теория колебаний», 2011 г., раздел 5.1. Математическое введение, стр. 200-210.

Так в чем же заключалась наша ошибка в первом случае, если мы получили такой же ответ?

Способ 3.

Первая ошибка – неправильно получена формула для ЭДС ЭМ индукции:

Все постоянные величины вынесены за знак интеграла. Скорость зависит от времени, причем зависимость нелинейная, что было нашей второй ошибкой. Но как это часто бывает, две ошибки компенсировали друг друга, и мы получили правильный ответ.

Но все же доведем задачу до логического завершения. Чтобы решить данный интеграл, надо воспользоваться формулой для силы, которая в нашей задаче пропорциональна скорости:

Примечание.

Скорее всего, авторы задачи знают более простое ее решение, иначе непонятно, каким образом задача попала на ЦТ.

Свой вариант решения прислал physicist

В нем есть свои изюминки:

И напоследок.

Прочитав еще раз условие, заметил, что нигде в нем не указано, что магнитное поле горизонтально. В условии просто указана горизонтальная составляющая поля. Таким образом, вертикальная составляющая, полученная нами, не противоречит условию. Очень интересно было бы представить такое поле или, хотя бы, нарисовать его силовые линии. Я считаю, что они будут примерно такими:

Рис.2