Найден очень серьезный недочет в учебнике «Физика-9», Исаченкова
Л.А., Пальчик Г.В., 2006.
Мы уже затрагивали тему того, как правильно обрабатывать
результаты косвенных измерений, когда анализировали учебник физики 7 класса
(2009 г) авторов Л.А.Исаченковой и Ю.Д.Лещинского. В приложении 2 данного учебника «Обработка результатов прямых и
косвенных измерений» (стр.171-176) объясняется, как правильно производить
косвенные измерения, сколько цифр надо брать после действий над числами. В
конце приложения (стр.176) следуют выводы, из которых мы привели последний:
4.Если значение
величины находится не прямым измерением, а косвенным (по формуле), то точность
окончательного результата не может быть выше точности в определении величины,
измеренной наиболее грубо.
Данный вывод, правильный по сути, но не полный, приводит к
неправильным следствиям, которые реализуются в учебниках физики 7-10 классов. И
далее мы приводили три следствия, из которых самым абсурдным было последнее:
Следствие 3.
Данное правило действует не только при умножении (делении), но и при сложении
(вычитании).
Этот вывод был сделан на основании анализа многих задач с не
совсем логичными данными в условии и такими же ответами. Но то, что это не
случайность, стало ясно после анализа учебника 9-го класса.
В приложении учебника: 7.Математические
операции с приближенными числам» (стр.192) в пункте а, есть справедливое утверждение, которое можно привести целиком: «При
сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует оставить столько
десятичных знаков, сколько их в числе с наименьшим их количеством.
Например: …».
Все абсолютно правильно и опровергает на первый взгляд наше невероятное
предположение, приведенное в следствии 3.
Но пример…. Для убедительности приведу изображение из книги (стр.192):
В первом числе три
десятичных знака, во втором – два. А
результат округляют … до одного!Вместо десятичных знаков считают все цифры в числе! И это не случайная описка.
Именно таким округлением пользуются авторы учебников 7-10 классов при составлении
условийи округлении результатов задач.
Вместо десятичных знаков считают цифры. Примеров можно привести множество. А
меня раньше мучил вопрос: «Почему столько нелепостей в задачах?». Оказывается
все просто – одни неправильно поняли операции сложения и вычитания с
приближенными числами, другие не провели надлежащую проверку, а в результате
получили то, что получили.
Эх, что бы мы делали без Википедии, да? Про радиус Земли на ЦТ тоже расскажете, SergeyKa? Чисто математический вопрос не стоит аргументировать ссылкой из школьного! учебника информатики! Автор тонко намекает, что единая система в вычислениях отсутствует в школе. Да и откуда ей взяться, если автор учебника 6 класса на предварительной презентации некоторых глав искренно неудомевала репликам из "зала". Как, разве этого не проходят еще по математике? Ну, я уберу это из учебника...и т.д.
Уважаемый автор! Похоже, что Вы заблуждаетесь, причем несколько раз (но и не буду утверждать, что авторы учебника правы). Попытаюсь пояснить.
Во-первых, почему-то под "десятичными знаками" Вы понимаете цифры, стоящие после десятичного разделителя (запятой). Однако, так следует называть любую цифру в записи дробного числа в десятичной системе счисления (см., например, http://ru.wikipedia.org/wiki/Десятичная_дробь).
Во-вторых, при действиях с приближенными числами принято выделять верные и сомнительные цифры. Верными называют цифры, для которых разрядная единица превышает погрешность. Например, если брать приближенное значение радиуса Земли равным 6400 км, то верными будут цифры 6 и 4, так как их разрядные единицы (одна тысяча и одна сотня) превосходят погрешность h=|6400-6370|=30, а вот два оставшихся нуля будут уже сомнительными цифрами.
С использованием этих терминов В.М.Брадис (может быть помните "таблицы Брадиса"?) сформулировал в середине прошлого века несколько правил, касающихся действий с приближенными числами. Так, при сложении (вычитании) в результате следует оставлять только те цифры, которым соответствуют верные цифры в слагаемых. Например, тот "нелепый пример", который Вами приведен в качестве иллюстрации, выглядит совершенно правильно, если в исходных данных в разряде десятых цифры верные, а вот в разряде сотых в каком-нибудь, а, может быть, и в каждом, числе цифры сомнительные.
При умножении и делении, в результате следует оставлять столько верных цифр, сколько их в исходном числе с наименьшим количеством верных цифр. Например, если число, в котором 10 верных цифр, умножить на число, в котором 2 верные цифры (не важно, в каких позициях они записаны и сколько имеется сомнительных цифр), то результат следует округлять до двух цифр.
Что же касается промежуточных действий, то Брадис рекомендовал оставлять на 1-2 цифры больше, чем нужно по предыдущим правилам.
И напоследок, рекомендую ознакомиться с более строгой математической теорией, касающейся действий с приближенными числами, приведенной в любом учебнике по вычислительной математике. Можно даже взять главу "Приближенные числа. Погрешности" из школьного учебника "Информатика и вычислительная математика. 10-11" (Быкадоров Ю.А. и др., 1997 г.)
Большое спасибо SergeyKa за очень доскональный и интересный комментарий. Попробуем разобраться по порядку. Во-первых, "десятичные знаки". Я знаю два понятия: «Десятичная цифра» и «Десятичный знак». Любая цифра в записи дробного числа в десятичной системе счисления это «Десятичная цифра» (см., например, http://ru.wikipedia.org/wiki/ Десятичная_дробь). А Десятичный знак, цитата: «число знаков справа от десятичной запятой, необходимое для представления действительного числа с определенной точностью. Например, число 4,893302 с точностью до третьего знака записывается как 4,893» (http://dic.academic.ru/dic.nsf/ntes/1385/ ДЕСЯТИЧНЫЙ). Во-вторых, верные и сомнительные цифры. Этот "нелепый пример" представлен в учебнике как показательный, и гадать, какие там цифры сомнительные, а какие верные, не нужно. Все цифры в этом примеры должны быть одинакового «типа», в данном случае верные. Иначе, зачем вообще образец приводить. И тогда пример действительно выглядит нелепо. Ну и напоследок, я, конечно, могу ознакомиться с более строгой математической теорией, касающейся действий с приближенными числами, приведенной в любом учебнике по вычислительной математике. Но реально ли это сделать нашим ученикам. Ведь этот материал появился не потому, что автор вдруг что-то обнаружил и на радостях хочет всему миру раструбить о своем «открытии». Это выводы из практики решения задач, причем тестовых. В результате вот таких рекомендаций (учебника), получаются округленные ответы, которые не соответствуют правильному. Поэтому даже расплывчатых рекомендаций Брадиса оставлять на 1-2 цифры больше, чем нужно, не всегда достаточно.
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи. [ Регистрация | Вход ]
