Как правильно обрабатывать результаты косвенных измерений?

Поразмышляем над приложением 2 «Обработка результатов прямых и косвенных измерений» (стр.171-176), учебника физики 7 класса (2009 г) авторов Л.А.Исаченковой и Ю.Д.Лещинского.

В данной статье объясняется, как правильно производить косвенные измерения, сколько цифр надо брать после действий над числами. В конце приложения (стр.176) следуют выводы, из которых приведу последний:

4. Если значение величины находится не прямым измерением, а косвенным (по формуле), то точность окончательного результата не может быть выше точности в определении величины, измеренной наиболее грубо.

Данный вывод, правильный по сути, но не полный, приводит к неправильным следствиям, которые реализуются в учебниках физики 7-10 классов. А следствия эти такие:

Следствие 1 (прямое). Если мы перемножаем числа, то в окончательном результате (стр.175) надо брать столько цифр, сколько было в числе, измеренном наиболее грубо.

Данное утверждение является следствием недосказанности в приложении 2. Дело в том, что оно справедливо только при умножении (делении) двух чисел. Но уже при умножении трех чисел, оно нарушается. Пример. Перемножим два числа 2,11 и 4,23. Получим 8,9253, или, после округления по предложенному правилу: 8,93. А теперь умножим полученное значение на 9,36. Результат: 83,5848 или 83,6. Если же перемножить сразу три данных числа, то получим 83,540808 или 83,5. Как видим, ошибка уже есть. А если продолжить расчеты дальше, ошибка будет нарастать как снежный ком. В лабораторных работах, у нас множество промежуточных результатов, которые потом используются при дальнейших расчетах. Так как надо в данном случае оценивать результат косвенных измерений?

К тому же, в репетиционном и централизованном тестировании, когда все ответы могут различаться только последней цифрой, это приводит к неверному решению.

Следствие 2 (косвенное). Если мы перемножаем два числа, то можно число с наибольшей точностью перед умножением округлять до такого же числа знаков, как число с наименьшей точностью.

Если применять данное утверждение при расчете энергии связи, то наш результат, практически всегда, будет ноль.

Следствие 3 (интуитивное). Данное правило действует не только при умножении (делении), но и при сложении (вычитании).

В приложении 2 нет ни строчки о том, что это не так. А, как известно, что не запрещено, то разрешено. Конечно, никто не складывает один километр и один миллиметр, несмотря на то, что у них одинаковое число точных цифр. В таких вычислениях не важно, сколько правильных цифр в числах, а надо руководствоваться одинаковым порядком слагаемых (разрядом последней цифры). Но, несмотря на абсурдность, данное следствие применяется в учебниках физики, особенно в 10 классе.

Например, в упр.12 №2 ("Физика-10" авторов И.И.Жолнеревич, И.Н.Медведь, 2007) ускорение свободного падения берется равным 10 м/с², а ускорение тела 3,0 м/с². А ведь данные величины не перемножаются, а складываются! В упр.9 №2 (там же) радиус Земли округляют до значения 6400 км (более точное значение 6370 км), а высоту тела над Землей дают равной 990 км. Зачем? Ведь и здесь значения надо прибавлять друг к другу. В таком случае порядок слагаемых должен быть одинаковым. Или уточните значение радиуса, или округлите значение высоты. И таких примеров можно привести великое множество.

Итоги размышлизмов.

1. Пока не будут исправлены данные баги, я рекомендую ученикам стараться выводить конечную формулу и расчеты производить только один раз. Считать на калькуляторе разрешается, поэтому в округлении необходимости нет.

2. Если удобнее производить промежуточные вычисления (на тестировании это важный момент), то округлять их результат не следует. Однако если подходить к вопросу принципиально, цифр в ответе должно быть больше на столько, сколько вы планируете сделать промежуточных вычислений.

3. При сложении округлять надо с учетом порядка слагаемых.

PS. Я не автор национальных учебников, поэтому не претендую на абсолютную точность информации. Мои замечания носят чисто рекомендательный характер.