Мы уже несколько раз затрагивали тему математических операций с приближенными числам ("Самый главный баг в учебниках физики" и "Как правильно обрабатывать результаты косвенных измерений?"). Напомним, проблема состояла в том, как правильно осуществлять сложение и вычитание приближенных чисел.

В нынешних учебниках этот вопрос затрагивается, но...

Предлагаю обратиться за помощью к корифею физических стандартов Г.С.Кембровскому и его книге: "Приближенные вычисления, методы обработки результатов измерений и оценки погрешности в физике" 1997 г (1990). На мой взгляд, данная книга должна быть в каждом кабинете физики. В ней не только подробно разбираются различные вопросы, касающиеся вычислений и измерений, но и приводятся разнообразные примеры, которых нет в учебниках.

В главе 13. Сложение и вычитание приближенных чисел затрагивается и наша "проблема":

Правило I. При сложении и вычитании приближенных чи­сел в результате сохраняют цифры только тех разрядов, в которых имеются верные цифры во всех исходных данных. Цифры остальных разрядов отбрасываются (с учетом пра­вил округления) * В полученном результате последняя цифра может быть сомнительной (абсолютная погрешность боль­ше одной единицы последнего разряда) или верной (абсолют­ная погрешность меньше одной единицы последнего разряда).

* Сказанное не относится к промежуточным результатам, когда дейст­вует правило «запасной» цифры. 

Например, 1,48 + 2,34 + 4,02 = 7,84;

1,0127 + 2,802 + 4,65 = 8,4647 = 8,46;

109,6 - 2,33 = 107,27 = 107,3.

Предположим, что все цифры исходных данных вер­ные. Тогда в первом примере слагаемые содержат верные цифры в разрядах единиц, десятых и сотых. Поэтому в сумме также сохранены цифры соответствующих раз­рядов. Во втором примере в сумме отброшены цифры в разрядах тысячных и десятитысячных, так как последнее слагаемое не содержит в данных разрядах верных цифр. В третьем примере отброшены сотые, так как в числе 109,6 в разряде сотых нет верной цифры.

Еще пример. Требуется сложить приближенные числа, в записи которых кроме верных есть и сомнительные цифры (они подчеркнуты снизу): 42,801 + 0,87 = 43.671 = 43,7. В соответствии с правилом I в результате отбро­шены цифры в разрядах сотых и тысячных, так как в них нет верной цифры хотя бы в одном из слагаемых.

Убедиться в справедливости правила I проще всего на примере суммирования равноточных чисел.

Пусть опреде­ляется сопротивление трех последовательно соединенных резисторов сопротивлениями R₁ = 20,6 Ом, R₂ = 18,5 Ом и R₃ = 10,2 Ом. Пусть в каждом из этих значений верными являются цифры в разрядах десятков, единиц и деся­тых долей ома. В результате R = R₁ + R₂ + R₃ = 20,6 Ом + 18,5 Ом + 10,2 Ом = 49,3 Ом последняя цифра может быть сомнительной. Действительно, если абсолютные погрешности слагаемых ∆R₁ = ∆R₂ = ∆R₃ = 0,05 Ом, то верхняя граница абсолютной погрешности суммы ∆R = ∆R₁ + ∆R₂ + ∆R₃ = 0,15 Ом, что больше одной единицы последнего разряда результата (∆R > 0,1 Ом).

Если абсолютные погрешности слагаемых имеют другие значения, например ∆R₁ = ∆R₂ = ∆R₃ = 0,02 Ом, то последняя цифра результата может оказаться верной (∆R < 0,1 Ом). Здесь при вычислении верхней границы абсолютной погрешности суммы предполагалось, что по­грешности всех слагаемых имеют одинаковый знак. В действительности же погрешности слагаемых могут час­тично компенсировать друг друга, что приводит к умень­шению погрешности конечного результата. Поэтому в правиле I указывается: последняя цифра результата не всегда может быть сомнительной.

Методические замечания

При сложении и вычитании приближенных чисел, содер­жащих множители в виде 10ⁿ , следует сначала вынести за скобки общий множитель: 10 в наивысшей степени, а затем в скобках применять правило I. 

Например,
4,1 ∙ 10² + 1,823 ∙ 10⁴ = 10⁴ ∙ (0,041 + 1,823) = 1,864 ∙ 10⁴;
2,54 ∙ 10³ - 9,1 ∙102 = 10³ ∙ (2,54 – 0,91) - 1,63 ∙ 10³.

Бели же вычитание неизбежно, то необходимо повысить точ­ность исходных данных.

3. При большом количестве слагаемых надежность последней сохраняемой по правилу I цифры результата уменьшается, и со­мнительной может стать даже цифра более высокого разряда. Например, при последовательном соединении 100 резисторов со­противлением R = (20,5 ± 0,5) Ом каждый абсолютная погреш­ность полного сопротивления может содержаться не только в единицах, но и в десятках омов. Однако в учебной практике такие случаи встречаются редко. Обычно количество слагаемых невелико и поэтому правило I вполне применимо.