В НГ за 02.10.2012 появилась статья "Как решить самую сложную задачу?". В ней дано решение задачи В10 3 варианта ЦТ 2012 по физике. Эту задачу мы уже обсуждали на сайте (вот здесь), поэтому будет интересно посмотреть предложенное решение. Ниже приведем решение задачи из газеты с нашими комментариями.
Задание: Проволочное кольцо радиуса r = 3,0 cм и массой m = 98,6 мг, изготовленное из проводника сопротивлением R = 81 мОм, находится в неоднородном магнитном поле, проекция индукции которого на ось Ох имеет вид Bx= kx, где k = 2,0 Тл/м, х - координата. В направлении оси Ох кольцу ударом сообщили скорость, модуль которой v0 = 3,0 м/с. Если плоскость кольца во время движения была перпендикулярна оси Ох, то до остановки кольцо прошло расстояние s, равное .... см. Решение: Физические процессы при движении кольца:
1. При движении кольца в неоднородном магнитном поле в кольце возникает ЭДС индукции E.
2. ЭДС индукции вызывает ток I.
3. На проводник с током действует сила Ампера Fа, которая останавливает кольцо.
Комментарии. Чтобы утверждать, что сила Ампера останавливает кольцо, надо определить ее направление. 4. При протекании тока в кольце выделяется теплота.
Рассмотрим превращение энергии в системе.
Кинетическая энергия W кольца превращается в теплоту Q, выделяемую в проводнике при протекании индукционного тока W = Q (1)
С другой стороны, сила Ампера Fа, проекция которой на ось Ох отрицательная, играет роль силы трения.
Комментарии. И опять ничего не сказано про направление этой силы. Если исходить из правила левой руки и горизонтальном направлении (по условию) вектора магнитной индукции, то сила Ампера будет направлена к центру кольца, ее проекция на ось ОХ будет равна нулю и она не будет являться тормозящей силой. Другое дело, если мы обоснуем наличие радиальной составляющей вектора магнитной индукции. Но этого в данном решении нет!
Ее работа равна кинетической энергии кольца, взятой с обратным знаком. Wтр = - W. (2)
Комментарии. Наверно, автор имел ввиду Атр = -
ΔWк или Атр = -
dWк
Тепловая мощность, выделяемая в кольце, равна мощности "силы трения": PQ = E2/R = - Fax vx (3) где E – ЭДС индукции в кольце, υх – проекция на ось Ох мгновенной скорости кольца. Комментарии. Формула (3) справедлива для мгновенной мощности. Также можно добавить, что Fax - проекция на ось Ох мгновенного значения силы Ампера.
ЭДС индукции E, определим по закону электромагнитной индукции Фарадея: |E| = ΔФ/Δt = SΔB/Δt = SkΔx/Δt = Skvx, (4) где S = πr2 – площадь кольца.
Комментарии. Формула (4) справедлива для мгновенных значений ЭДС. Поэтому правильнее:
|E| = dФ/dt = SdB/dt = Skdx/dt = Skvx
Под действием силы Ампера кольцо движется с ускорением a: Fax = m ax. (5) Комментарии. И снова речь идет о мгновенных значениях проекций силы и ускорения. А ускорение в задаче переменное, причем изменяется нелинейно. Подставим (4) и (5) в (3), затем сократим на υx: (kS)2 vx/R = - m ax. (6) По определению ax = Δvx/Δt, vx = Δx/Δt , (7) где Δt - малая величина.
Комментарии. Правильнее написать ax = dvx/dt, vx = dx/dt , так как речь снова идет о мгновенных значениях ускорения и скорости.
Из (6) и (7) получим
(kS)2 Δx/mR = -Δvx. (8)
Комментарии. Точнее: (kS)2 dx/mR = -dvx.
Поскольку (kS)2/mR есть постоянная величина (она не зависит ни от положения кольца, ни от времени), то соотношение (8) справедливо не только для малых промежутков времени Δt, но и для больших промежутков. Комментарии. А вот это самое темное место в решении. Если в нем разобраться, то откроется страшная тайна: нужно интегрирование или суммирование, что, в принципе, одно и тоже. Например, один из способов обхода интегрирования следующий:
Найдем сумму приращений координаты: (хn-хn-1)+(хn-1+хn-2)+...+(х1-х0).
Раскроем скобки, и все соседние слагаемые сократятся. Получим
хn-х0, т.е s - x0= s-0
Аналогично можно найти сумму всех приращений скорости.
Поэтому x - x0 = mR/ (kS)2 (v - v0). (9) Полагая в (9), что х0 = 0, υ =0, максимальный путь s, который пройдет кольцо до остановки, равен: s = mv0R/ (πr2 k)2 . (10) Численно: s = ... = 75 (см). Ответ: 75 см.
Ну и как вам решение по школьной программе, встечали такое ранее на уроках?
| 
